Je dirais que les 2 termes ne recouvrent pas tout à fait la même réalité. Je vais essayer d'être le plus complet possible - et le plus neutre.
Le terme "transgenre" désigne en principe toute personne qui se sent d'un genre différent de celui qui lui a été assigné à la naissance. Lorsque l'on naît en effet, on nous assigne un genre, qui est écrit sur notre carte d'identité, et qui conditionne la manière dont on nous perçoit. Une personne assignée fille à la naissance sera perçue comme une fille, avec toutes les conséquences que ça peut avoir - certains environnements sont très souples sur les normes imposées au genre, d'autres beaucoup moins. En principe donc, si on se sent d'un genre différent de celui qui nous a été assigné, ce qui peut être l'autre genre binaire (assignée homme qui se sent femme, assigné femme qui se sent homme), ou alors un genre non-binaire (genre neutre, genre fluide, bi-genre...), alors cela suffit à faire de nous une personne transgenre. En pratique, toutes les personnes qui se sentent d'un genre non-binaire ne se revendiquent pas transgenres, souvent parce que le genre dont elle se sentent n'est pas très éloigné sur le spectre du genre "assigné". Par exemple, par mal de personnes qui sont assignées filles à la naissance et qui se sentent demi-girl (qui est un des genres non-binaires), ne se revendiquent pas transgenre, car il y a assez peu d'écart.
Je tiens à dire que le sentiment de genre ne peut pas être nié de manière logique. Si tu te sens homme alors que tu es assigné femme, alors personne ne peut te nier ce fait. Le problème tient dans l'idée qu'on se fait d'être un homme ou une femme. Si par exemple l'idée qu'on se fait de ce qu'est un homme est qu'un homme a un pénis, alors si tu te sens homme et que tu n'as pas de pénis, on te dira "tu n'es pas un homme".
Cette représentation qu'on se fait de ce qu'est un homme ou une femme mène doucement à ma deuxième définition, celle du terme "transsexualité".
Ce terme est plus ancien que le premier et à été forgé pour désigner les personnes qui se sentent de l'autre genre (binaire) que celui qui leur a été assigné à la naissance. Le fait que les genres binaires sont associés, dans les représentations collectives qu'on se fait de ces genres, au corps dit mâle et femelle, a conduit à considérer les personnes qui se sentaient homme ou femme alors que leur corps ne correspondait pas sexuellement à la représentation qu'on se fait de ces genres comme des personnes souffrant d'une pathologie mentale. Ces personnes ont été désignées comme "transsexuelles". La transsexualité est donc un terme de psychiatrie désignant donc une maladie selon la nomenclature des maladies psychiatriques, maladie définie dans cette nomenclature comme "le fait de se sentir du genre opposé à celui de notre corps". Le fait que homme soit associé à un certain type de corps dans la société, et femme pareil, conduit donc selon cette même nomenclature à de la dysphorie, c'est-à-dire à un sentiment persistant que notre corps devrait avoir un pénis/des seins/une vulve/pas de seins... Ce qui est logique, les personnes transgenres étant élevées dans une société où on leur inculque que tel type de corps = tel genre, vont si elles se sentent de tel genre développer facilement une dysphorie, même si en pratique toutes les personnes transgenres ne souffrent pas de dysphorie.
Aujourd'hui, j'aurai tendance à te conseiller d'employer le terme de "transsexuel-le" uniquement pour les personnes qui se revendiquent comme telles, et d'utiliser le terme de "transgenre" si tu n'es pas sûr-e. En effet, les personnes qui se voient comme transsexuelles - et qui le sont - sont principalement les personnes qui ont/veulent faire une transition pour cause de dysphorie, c'est-à-dire que ces personnes ne "changent" pas seulement de genre par rapport à celui qu'on leur a donné à la naissance, mais changent aussi de "sexe", c'est-à-dire qu'elles reconstruisent leur corps selon l'image qu'on a dans la société de leur genre. En effet le terme de transsexuel classe les personnes trans* comme des malades mentaux, ce qui est perçu comme oppressif étant donné qu'être trans n'est pas forcément, clairement une maladie, vu
Je terminerai en disant qu'il ne faut pas tomber dans l'écueil de "les personnes transgenres sont subversives, alors que les personnes qui font une transition/transsexuelles sont des moutons qui suivent le diktat de la société et des psychiatres", où à l'inverse "les personnes transgenres, spécialement les personnes non-binaires, sont des enquiquineurs qui veulent juste faire leurs intéressants alors que nous transsexuels nous sommes des vrais trans". Personnellement, en tant que personne à la fois transgenre et à la fois sujet à la dysphorie, j'ai tendance à ne pas me définir comme transsexuel parce que le fait que je me sentes homme, que je suis un homme, et que j'ai envie que mon corps soit plus masculin selon les standards sociaux que j'ai intégré, je ne considère pas cela comme étant une maladie. Je considère ça comme étant mon problème, quelque chose que je veux régler, mais pas comme une maladie.
Enfin, ne pas oublier non plus que les personnes trans subissent toutes de l'oppression parce qu'ielles sont trans (pas parce qu'ielles sont des hommes/des femmes/ont fait une transition/n'en ont pas fait/ne veulent pas en faire). D'où l'utilité du terme-parapluie "trans", même si après il faut réussir à faire la distinction entre ce qui concerne certaines personnes trans et pas d'autres selon d'autres critères - je vous renvoie au cours sur l'intersectionnalité, l'inclusivité et le croisement des oppressions

).