En majorité, les entreprises qui donnent des chèques cadeaux pour les naissances le font aussi pour Noël ou autres. Je n'en ai jamais vu qui ne fasse que les cadeaux de naissance (je ne dis pas que ça n'existe pas, mais ça me paraît assez rare) souvent c'est pas la priorité, et effectivement, ça peut vite créer des divisions, généralement on conseille de choisir quelque chose de plus "large" si on a peu de budget. D'autant que, comme on l'a évoqué, la question de la discrimination se pose de plus en plus, c'est quand même plus pratique de choisir quelque chose de fédérateur (les fêtes de fin d'année, c'est pratique, on exclut pas les gens sur la composition de leur famille, ni sur le fait qu'ils célèbrent Noël ou pas, d'ailleurs).
Pour la gestion, souvent on ne demande que le justif de l'existence d'un enfant (peu importe qui s'en occupe ou qui en a la garde). Après, on ne peut pas exiger que le salarié donne ce type d'infos, mais dans ce cas, pas de cadeau (attention, je ne dis pas que c'est une règle absolue, c'est ce qui se fait le plus souvent mais il y a certainement d'autres pratiques).
Si jamais ça t'intéresse,
le site de l'URSSAF donne une liste des évènements qui permettent de donner des bons cadeaux en bénéficiant de l'exonération partielle de charges (un peu HS mais je me dis que ça peut toujours servir, et puis c'est assez rigolo quand on voit qu'ils inclusent la Saint Nicolas et la Sainte Catherine...).
Edit : j'ai rédigé sans voir le com de
@MorganeGirly donc désolée s'il y a des redites, ce n'était pas le but.